[통계공부] 4. 표준정규분포 및 표준화 (예시문제 학습)

1. 표준정규분포(Standard Normal Distribution)

 

표준정규분포는 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포를 의미합니다. 이 분포는 종 모양의 곡선으로, 정규분포를 따르는 확률 변수를 표준화하는 데 사용됩니다.

 

표준정규분포를 따르는 확률 변수는 Z로 표시되며, 평균을 0, 표준편차를 1로 조정한 값이 Z 값입니다. 표준정규분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같이 표현됩니다

 

표준정규분포는 통계 분석에서 중요한 이유는 다음과 같습니다

- 데이터를 표준정규분포로 표준화하면, 서로 다른 데이터 집단을 비교하거나 통계 분석하기가 더 쉬워집니다.

- 통계적 가설 검정에서 p-값을 계산하는 데 사용됩니다.

 

2. 표준화(Standardization)

 

표준화는 데이터의 평균을 0으로, 표준편차를 1로 조정하여 데이터를 새로운 척도로 변환하는 프로세스입니다. 표준화는 다음과 같은 방식으로 수행됩니다

 

1. 각 데이터 포인트에서 평균을 뺍니다.

2. 그 후, 각 데이터를 표준편차로 나눕니다. 이로써 데이터의 스케일이 표준편차의 크기에 맞게 조정됩니다.

 

 

표준화를 통해 데이터의 단위나 척도에 관계없이 데이터를 표준정규분포로 변환할 수 있습니다.

표준화는 주로 다음과 같은 상황에서 사용됩니다

- 다른 데이터 집단 간의 비교를 용이하게 하려고 할 때.

- 회귀 분석 또는 다차원 공간에서 변수 간의 중요성을 비교할 때.

- 이상치를 식별하고 제거할 때.

 

3. 표준화 예시 문제

 

예시) 한국남성의 신장 조사시 평균이 170, 표준편차가 5인 정규분포이다.
한 남자의 키가 175 ~ 180일 확률은?

 

3.1. 표준화 없이

 

문제에서 주어진 조건을 통해 확률을 구할 수 있습니다.

해당 조건으로 그래프를 그리면 아래와 같습니다. 답은 0.135로 13.5% 입니다.

 

3.1. 표준화를 이용

 

표준화과정을 통해 해당 정규분포를 표준정규분포 틀에 맞게 변경하여, 답을 구하는 과정입니다.

역시, 정답은 표준화 없이 구한 것과 동일하게 0.135가 나왔습니다. 표준화 과정에서 각 데이터에서 평균을 빼고 표준편차를 나누는 과정에서 그래프의 스케일을 표준정규분포에 맞게 조정했기 때문입니다.

 

해당 표준화 과정때문에 수식이 더 길어보일수 있으나, 과학실험 및 현상 분석시 다양한 집단을 분석하게 됩니다. 

이때 데이터의 단위 및 스케일이 다를때, 직접 비교가 어렵습니다. 때문에, 표준화 과정을 이용하면 이와 같은 문제를 해결 할 수 있습니다.